想起刚上大一时研究Ax=b这个关于向量x的方程什么时候有0个解,有1个解,有无穷多个解。虽然结论很容易推,但是当时并没有找到一个漂亮的方法说明它。Strang在ILA里对此有一个非常好的总结。他根据A的秩的不同,把可能性分成四类(以下假设A是m*n的矩阵,秩为r):

  • r = m and r = n
  • r = m and r < n
  • r < m and r = n
  • r < m and r < n

你能很快说出这四种条件下解的情况么?

其实,如果清楚Ax的意义,那么空间结构是非常清晰的。Ax即为A的列向量按照x的各个分量加权的线性组合,所以这个向量一定在A的column space里。而A有m行,所以A的column space至多为m维。同时,因为A有n列,即有n个向量作为加权向量。注意到b是m维的,那么

  • r = m and r = n 表示m个相互独立的向量张成m维线性空间,即这m个向量是该空间的一组基。此时无论b取什么,都必定有唯一解。
  • r = m and r < n 表示n个非相互独立的向量张成m维线性空间,此时无论b取什么,都必定有无穷多个解
  • r < m and r = n 表示n个相互独立的向量张成n维线性空间,这个线性空间是m维线性空间的真子空间。如果b在这个n维子空间里,则恰有1个解;否则,有0个解。
  • r < m and r < n 表示n个非相互独立的向量张成m维线性空间的真子空间。如果b在这个子空间里,则有无穷多个解;否则,有0个解。

简单总结,就是

  • r = m and r = n -> 1 solution
  • r = m and r < n -> infinite solution
  • r < m and r = n -> 0 or 1 solution
  • r < m and r < n -> 0 or infinite solution

此文主要是为了拯救一下被国内教材毒害的大一小朋友,非技术文,大牛请无视。衷心希望那些只会推公式抄定理不讲透空间结构和几何意义的工科教材卖不出去。